세 점을 지나는 이차함수의 일반형 $$ y=ax^2+bx+c $$를 구하는 것은 삼원일차연립방정식이 되므로 현행 교육과정에서는 출제하기 어렵습니다. 따라서 통상 세 계수 \(a, b, c\) 중 적어도 하나를 알려주고 구하게 됩니다. 하지만 일반적으로 구해야만 한다면 그 방법은 무엇일까요?
물론 암기해서 쓸 만한 공식이 나오리라 기대하기는 어렵습니다. 또 손으로 계산하는 것은 대수적 묘기(algebraic gymnastics)에 가깝기 때문에 굳이 추구할 만하지 않습니다. 이 글의 목적은 바로 Desmos 그래핑 계산기에서 세 점을 정했을 때 이를 지나는 이차함수의 그래프를 바로바로 그리는 것입니다. 아래와 같이요!
사실, 수학교육적으로 볼 때는 "세 점을 정하면 한 이차함수가 정해진다"는 사실이 가장 놀라워야 하고 발견의 대상이 되어야 할 것입니다. 이런 과정은 거쳤거나 다음 학년의 몫이라고 생각한다면, 이런 도구를 만드는 것은 가능한 모든 형태의 이차함수를 탐구할 수 있게 해 주겠죠. 사실 지오지브라에서는 \(n\)개의 점을 찍은 뒤 대수창에서 다항식(\(X_1, X_2, ..., X_n \)) 명령어를 입력하면 바로 이를 지나는 \(n-1\)차 다항식의 그래프를 그려 줍니다. 그러나 Desmos는 이런 도구를 많이 갖추고 있지 않아서 하나하나 만드는 재미가 있죠.
먼저 세 점을 적절하게 정해야 합니다. \( (x_1, y_1) \)과 같은 형태로 나타낼 수도 있겠지만, 이 경우 조작이 불편합니다. 또 계수로 \(a, b, c\)를 할당해야 하므로 이 문자들도 피하는 것이 좋습니다. 따라서 저의 선택은! $$ (p,q), (r,s), (u,v) $$입니다. \(t\)가 없음을 눈치채셨나요? Desmos에서는 x, y는 대수식의 변수로, 다른 문자는 자동으로 계수로 인식하여 슬라이더로 변환하지만, t만은 자동으로 변역을 가지는 매개변수로 인식하기 때문에 슬라이더가 생기지 않습니다. 따라서 불가피하게 \((u,v)\)를 사용했는데요, 수학의 여러 분야에서 많이 사용하는 형태라 거부감은 적은 것 같습니다.
이제 이 세 점을 지나는 이차함수의 식을 어떻게 구할까요? WolframAlpha를 이용합니다.
제가 사용한 명령어는 "solve for a, b, c when q=ap^2+bp+c, s=ar^2+br+c, v=au^2+bu+c" 입니다. 이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)에 위의 세 점을 대입한 것을 미지수 \(a, b, c\)에 대한 연립방정식으로 보고 풀라는 것입니다. 결과는 다음과 같습니다.
분모가 0이 아니어야 한다는 조건까지 야무지게 알려줍니다. 이제 이 결과를 Desmos에 적절하게 입력합니다.
먼저 변수 설정을 위해 $$ A=(p,q), B=(r,s), C=(u,v) $$와 같이 입력합니다. 다음으로 계수를 계산하고 식을 입력하면 자동으로 그려집니다.
지금까지 보여드린 과정을 다음 Desmos 애플릿에서 확인하실 수 있습니다. 수업에 필요하시다면 자유롭게 변형해서 사용하셔도 됩니다. 가령 왼쪽 위 +버튼을 눌러 이미지를 추가하면, 이미지에 맞춰 이차함수의 그래프를 그려 보게 하는 활동으로 사용 가능합니다.
완성된 애플릿은 다음 링크를 보시면 됩니다. 행복한 수업 되세요!